텐서곱과 얽힘¶

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상태공간의 결합¶

두 큐비트의 상태공간은 각각의 상태공간을 텐서곱해 만든다.

\[ |a\rangle\otimes|b\rangle=|ab\rangle \]

두 큐비트의 일반적인 순수상태는 다음과 같다.

네 진폭의 절댓값 제곱 합은 1이다. n개 큐비트의 일반 상태에는 2ⁿ개의 진폭이 필요하지만, 측정 한 번으로 이 진폭을 모두 읽을 수는 없다.

분리 가능한 상태와 얽힌 상태¶

전체 상태를 두 개의 한 큐비트 상태의 곱으로 쓸 수 있으면 분리 가능하다.

\[ |\psi\rangle=|a\rangle\otimes|b\rangle \]

그렇게 쓸 수 없으면 얽힌 상태다. 대표적인 Bell 상태는 다음과 같다.

\[ |\Phi^+\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt2} \]

이 상태는 H와 CNOT으로 만든다.

|0> ── H ──●──
            │
|0> ─────── X──

각 큐비트만 계산 기저에서 측정하면 0과 1이 반반이다. 그러나 함께 측정하면 00과 11만 나온다. 각 부분은 무작위지만 전체에는 완전한 상관관계가 있다.

단순한 고전 상관관계와의 차이¶

00 또는 11을 고전적으로 무작위 선택해 봉투에 넣어도 계산 기저 통계는 같아 보인다. Bell 상태의 차이는 다른 측정 기저에서도 드러나는 위상 일관성과 상관관계에 있다. 적절한 여러 기저에서 측정하면 고전적인 국소 숨은 변수 모형이 만족해야 하는 Bell 부등식을 위반할 수 있다.

2시간 강의에서는 Bell 부등식을 계산하지 않고 다음만 남긴다.

얽힘은 전체 양자상태를 각 부분의 독립 상태로 분해할 수 없는 성질이다.

측정하면 무엇이 달라지는가¶

Bell 상태의 첫 큐비트를 측정해 0을 얻으면, 결과를 조건으로 한 전체 상태는 |00>이다. 1을 얻으면 |11>이다. 그러나 반대편에서 첫 결과를 전달받지 못한 사람의 국소 통계는 여전히 50/50이므로 초광속 통신은 되지 않는다.

더 일반적인 얽힌 상태에서는 측정 기저와 결과에 따라 남은 부분의 조건부 상태가 정해진다.

얽힘은 왜 계산 자원인가¶

얽힘은 여러 큐비트의 진폭을 독립적인 한 큐비트 설명으로 압축하지 못하게 한다. 많은 양자 알고리즘과 오류 정정은 이 복합 상관관계를 이용한다.

다만 얽힘이 많다는 사실만으로 계산 가속이 보장되지는 않는다. 어떤 얽힘 구조를 만들고 어떤 간섭과 측정으로 정보를 꺼내는지가 중요하다. 일부 얽힌 회로도 안정자 형식처럼 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션할 수 있다.

복제 불가와 텔레포테이션¶

복제 불가 정리: 알 수 없는 임의의 양자상태를 완벽하게 복사하는 보편적 연산은 없다.
양자 텔레포테이션: 미리 공유한 얽힘, 송신자의 측정과 두 비트의 고전 통신을 이용해 상태를 다른 위치에 재구성한다. 원본 상태는 측정 과정에서 유지되지 않는다.

두 사실은 함께 성립한다. 텔레포테이션은 고전 통신과 얽힘을 소비해 상태를 이전한다.

Schmidt 분해¶

두 부분 A, B로 나눈 모든 순수상태는 적절한 각 부분의 기저에서 다음처럼 쓸 수 있다.

\[ |\psi\rangle=\sum_i\sqrt{\lambda_i} |u_i\rangle_A|v_i\rangle_B, \qquad \lambda_i\ge0,\quad\sum_i\lambda_i=1 \]

이를 Schmidt 분해라 한다. 0이 아닌 Schmidt 계수가 하나면 분리 가능한 상태이고, 둘 이상이면 얽힌 상태다. Bell 상태에는 1/2, 1/2 두 계수가 있다.

부분계 A의 밀도행렬은 B를 부분 추적해 얻는다.

\[ \rho_A=\mathrm{Tr}_B(|\psi\rangle\langle\psi|) \]

Bell 상태 전체는 순수하지만 각 부분의 상태는 I/2인 완전 혼합상태다. 전체에 존재하는 정보가 각 부분의 단독 상태보다 상관관계에 저장됐음을 보여준다.

얽힘 엔트로피¶

순수한 이분계의 얽힘 양은 부분계의 von Neumann 엔트로피로 측정할 수 있다.

\[ S(\rho_A)=-\mathrm{Tr}(\rho_A\log_2\rho_A) \]

분리 상태에서는 0, Bell 쌍에서는 1비트다. 다체계에서 얽힘이 공간 경계와 함께 증가하는지 부피와 함께 증가하는지는 고전 텐서 네트워크 시뮬레이션의 난이도와 연결된다. 낮은 얽힘 구조는 큰 큐비트 수에서도 압축 가능한 경우가 있다.

Bell 상관관계와 CHSH¶

CHSH 실험에서는 두 참여자가 각각 두 측정 설정 중 하나를 고른다. 국소 숨은 변수 모형에서는 상관함수의 조합 S가 |S|≤2를 만족한다. 적절한 Bell 상태와 측정 기저는 양자역학적 한계 2√2까지 도달한다.

Bell 부등식 위반은 얽힘 상관관계를 미리 정해진 고전 값과 국소 인과만으로 재현할 수 없음을 보여준다. 동시에 각 참여자의 단독 결과는 무작위이므로 제어 가능한 초광속 메시지를 만들지 않는다.

오류 정정에서의 얽힘¶

논리 큐비트는 여러 물리 큐비트에 얽힌 코드 상태로 정보를 분산한다. 안정자 측정은 논리값 자체보다 코드 공간을 벗어난 오류 신드롬을 읽는다. 이 방식은 복제 불가 정리와 함께 작동한다. 동일한 미지 상태를 여러 벌 복사하는 대신, 허용된 상관관계 안에 논리 정보를 인코딩한다.

오류가 일부 물리 큐비트에 국소적으로 생기면 신드롬 패턴으로 추정하고 복구 프레임을 갱신한다. 얽힘은 알고리즘의 계산 자원이면서 논리 정보를 잡음으로부터 보호하는 부호화 자원이다.

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