양자이론의 출발¶

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양자이론은 19세기 말 고전물리학으로 설명하기 어려웠던 빛과 원자의 현상을 설명하는 과정에서 시작됐다.

quantum은 라틴어로 “얼마만큼”이라는 뜻이다. 물리학에서는 특정 계에서 에너지 같은 물리량이 연속적인 아무 값이나 갖지 않고, 허용된 값이나 묶음으로 교환된다는 뜻으로 발전했다.

흑체복사와 플랑크¶

고전 이론을 고주파 영역까지 그대로 적용하면 뜨거운 물체가 짧은 파장에서 비현실적으로 큰 에너지를 방출한다고 예측한다. 플랑크는 1900년 에너지 교환이 다음 단위로 일어난다고 가정했다.

\[ E=nhf \]

n: 0, 1, 2, …의 정수
f: 진동수
h: 플랑크 상수

“에너지가 엘리베이터의 특정 층에만 있다”는 비유는 양자화를 직관적으로 보여준다. 이 비유의 적용 범위는 특정 계의 허용 상태와 측정량에 나타나는 양자 조건이다.

광전효과와 아인슈타인¶

1905년 아인슈타인은 빛이 에너지 E=hf인 양처럼 물질과 상호작용한다고 설명했다. 빛의 세기를 높이는 것과 광자 하나의 에너지를 높이는 것은 다르다. 전자를 방출하려면 광자 하나의 진동수가 문턱을 넘어야 한다.

이 결과는 빛을 단순한 고전 파동만으로 볼 수 없음을 보여줬다.

원자 스펙트럼과 에너지 준위¶

원자는 모든 파장의 빛을 연속적으로 방출하지 않고 특정 선 스펙트럼을 보인다. 보어 모형은 전자가 특정 에너지 준위에만 있을 수 있고, 준위 사이를 전이할 때 차이에 해당하는 광자를 흡수하거나 방출한다고 설명했다.

\[ hf=E_{\mathrm{high}}-E_{\mathrm{low}} \]

현대 양자역학은 보어의 궤도 그림을 그대로 사용하지 않지만, 이산적인 두 에너지 준위를 |0>, |1>로 제어한다는 생각은 많은 물리 큐비트의 출발점이다.

물질파와 현대 양자역학¶

드브로이는 물질의 파장을 다음과 같이 제안했다.

\[ \lambda=\frac{h}{p} \]

전자 회절과 간섭은 물질도 파동적 성질을 보인다는 것을 확인했다. 이후 하이젠베르크의 행렬역학, 슈뢰딩거의 파동역학, 보른의 확률 해석과 디랙의 표기법이 현대 양자역학의 언어를 만들었다.

시간에 따른 상태 변화는 슈뢰딩거 방정식으로 쓴다.

\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle =\hat H|\psi(t)\rangle \]

2시간 강의에서는 방정식을 풀지 않는다. 다음 대응만 기억하면 된다.

양자역학	양자컴퓨팅
상태 `\|ψ>`	계산 중인 정보
가역 시간 변화	양자 게이트와 회로
여러 상태의 확률진폭	중첩과 위상
계 사이 상호작용	다중 큐비트 게이트와 얽힘
측정	고전 비트 출력

양자역학에서 양자컴퓨팅으로¶

에너지 양자화
  → 상태를 벡터로 표현
  → 상태 변화를 가역 연산으로 표현
  → 복합계는 텐서곱으로 표현
  → 측정 결과는 확률로 예측
  → 상태·연산·측정을 정보처리에 사용

양자컴퓨터는 자연의 불확실성을 무작위로 이용하는 장치에 그치지 않는다. 확률진폭의 크기와 상대위상을 정밀하게 제어하여 측정 결과의 분포를 설계하는 장치다.

양자역학의 네 가지 계산 규칙¶

양자컴퓨팅에 필요한 물리학은 네 가지 규칙으로 압축할 수 있다.

1. 상태는 복소 벡터로 표현한다¶

고립된 계의 순수상태는 힐베르트 공간의 단위벡터 |ψ>로 표현한다. 같은 벡터에 전체적으로 곱해진 전역위상은 동일한 물리 상태를 나타낸다. 서로 다른 성분 사이의 상대위상은 간섭에 영향을 준다.

2. 닫힌 계의 변화는 유니터리다¶

게이트 U는 U†U=I를 만족한다. 유니터리 연산은 벡터의 길이와 내적을 보존하므로 정보의 구별 가능성을 보존한다. 이 성질 때문에 이상적인 양자 게이트는 가역적이다. 고전 함수도 보조 레지스터를 포함한 가역 회로로 바꾸어 양자 알고리즘 안에서 사용할 수 있다.

3. 복합계는 텐서곱으로 결합한다¶

계 A와 B의 상태공간은 H_A⊗H_B다. 각 계의 차원이 2라면 결합 공간의 차원은 4가 된다. 이 곱셈 규칙이 n큐비트 상태공간의 2ⁿ 차원을 만든다. 전체 벡터가 부분 벡터의 곱으로 분해되지 않는 경우 얽힘이 생긴다.

4. 측정은 확률과 조건부 상태를 만든다¶

정사영 측정에서 결과 k의 확률은 Born 규칙으로 계산한다.

\[ p(k)=\langle\psi|P_k|\psi\rangle \]

결과를 얻은 뒤의 조건부 상태는 P_k|ψ>를 정규화한 벡터다. 일반화 측정은 POVM으로 표현하며, 실제 검출기와 잡음이 있는 측정을 더 넓게 기술한다.

이론, 실험과 해석의 층¶

양자역학을 설명할 때 세 층을 분리하면 논점이 선명해진다.

층	다루는 질문	양자컴퓨팅과의 관계
수학적 형식	상태와 측정 확률을 어떻게 계산하는가	회로와 알고리즘의 규칙
실험적 사실	어떤 상관관계와 간섭이 관측되는가	장치 검증과 벤치마크
해석	특정 결과 경험을 어떻게 이해하는가	계산 예측에는 공통 형식 사용

양자컴퓨터의 설계와 실행은 상태 준비, 유니터리 제어, 잡음 채널과 측정 통계를 다룬다. 측정 문제에 대한 철학적 해석이 달라도 표준 회로의 출력 확률 계산은 같은 실험 규칙을 사용한다.

가역성이 계산에 주는 제약¶

고전 AND 함수는 두 입력을 한 출력으로 압축하므로 입력을 출력만으로 복원할 수 없다. 양자 회로에서는 다음처럼 원래 입력과 결과를 함께 보존하는 가역 형식으로 만든다.

\[ |x,y\rangle\mapsto|x,y\oplus f(x)\rangle \]

알고리즘 중간에 만든 불필요한 보조 정보는 uncomputation으로 정리한다. 보조 레지스터가 답 레지스터와 얽힌 채 남으면 원하는 간섭이 약해질 수 있다. 오라클의 논리 게이트 수, 보조 큐비트 수와 uncomputation 비용은 실제 자원 추정의 일부다.

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